LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Vị trí tương đối của hai đường tròn ": http://123doc.vn/document/567142-hinh-hoc-9-chuong-ii-duong-tron-bai-giang-vi-tri-tuong-doi-cua-hai-duong-tron.htm
Hãy dựng tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đó, biết OO' = d.
Giải
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc tiếp tuyến chung của hai
đờng tròn và M, M' theo thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến
chung với (O; R) và (O', r). Gọi A là điểm đồng quy của
hai tiếp tuyến với OO', ta có:
AO
'AO
=
OM
'M'O
=
R
r
AO' = (AO' + O'O).
R
r
AO' =
rR
rd
xác định đợc vị trí của điểm A.
Khi đó:
Tiếp điểm M' là giao điểm của (O') và đờng tròn đờng kính AO'.
Tiếp điểm M là giao điểm của đờng thẳng AM' và đờng tròn (O).
Cách dựng: Ta thực hiện:
Xác định điểm A trên tia OO' sao cho AO' =
rR
rd
.
Dựng đờng tròn đờng kính AO', đờng tròn này cắt (O') tại M'.
Dựng đờng thẳng AM', đó chính là tiếp tuyến chung cần dựng.
Chứng minh: Ta có ngay:
'O'MA
= 90
0
AM' là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Ngoài ra, ta cũng có:
AO
'AO
=
O'O'AO
'AO
+
=
d
rR
rd
rR
rd
+
=
R
r
=
OM
'M'O
OM // O'M' OM AM AM' là tiếp tuyến của đờng tròn (O').
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức là tồn tại hai tiếp tuyến chung của (O)
và (O')).
b. Hai đờng tròn chỉ có một điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) với R > r và d = OO. Trờng hợp này gọi là hai
đờng tròn tiếp xúc nhau, và điểm chung duy nhất đợc gọi là tiếp điểm.
Ta có hai khả năng tiếp xúc:
Tiếp xúc ngoài Tiếp xúc trong
d = R + r
d = R r
5
O
O'
d
R
A
r
O
O'
d
A
r
O
O'
A
M'
M
N'
N
Thí dụ 4: (HĐ 2.b/tr 118 sgk): Quan sát hình 86, hãy dự đoán vị trí của
điểm A đối với đờng nối tâm OO'.
Giải
Dễ thấy A thuộc đờng thẳng OO.
Nhận xét:
Hai đờng tiếp xúc ngoài với nhau có ba tiếp tuyến chung.
Hai đờng tiếp xúc trong với nhau có một tiếp tuyến chung.
Hai đờng tiếp xúc với nhau mà cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ thêm
tiếp tuyến chung của chúng.
c. Hai đờng tròn không có điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) với R > r và d = OO. Trờng hợp này gọi là
hai đờng tròn không giao nhau.
Ta có hai khả năng:
Ngoài nhau Trong nhau
d > R + r
d < R r
Chú ý:
a. Hai đờng tròn phân biệt cùng tâm (d = 0) gọi là hai đờng tròn
đồng
tâm
.
b. Hai đờng tròn ngoài nhau có bốn tiếp tuyến chung, trong đó:
Có hai tiếp tuyến chung cắt đoạn OO'.
Có hai tiếp tuyến chung không đoạn cắt OO'.
c. Hai đờng tròn ở trong nhau không có tiếp tuyến chung
6
O
O'
d
R
r
O
O'
d
A
r
O
O'
A
M
O
O'
A
O
O'
B
A
2. tính chất đờng nối tâm
Tính chất 1: Đờng nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đờng tròn.
Tính chất 2: Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì dây cung
vuông góc với đờng nối tâm và bị đờng này
chia làm hai phần bằng nhau.
Cụ thể, theo hình vẽ ta có:
OO' AB và IA = IB.
Tính chất 3: Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối
tâm.
Cụ thể, theo hình vẽ sau ta có O, O', A thẳng hàng.
Thí dụ 5: (HĐ 3/tr 119 sgk): Cho hình 88.
a. Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn (O) và (O').
b. Chứng minh rằng BC // OO' và ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Giải
a. Từ hình vẽ ta thấy ngay (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B.
b. Gọi I là giao điểm của OO' với AB, ta lần lợt:
Trong ABC, ta có:
OI là đờng trung bình
OI // BC OO' // BC. (1)
Trong ABD, ta có:
O'I là đờng trung bình O'I // BD OO' // BD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng (vì cùng thuộc đờng thẳng qua
B song song với OO').
Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã tận dụng đầy đủ tính
chất của hai đờng tròn cắt nhau.
3. tổng kết
Ta có bảng sau:
Vị trí tơng đối của hai đờng
tròn (O; R) và (O; r) (R r)
Số điểm
chung
Hệ thức giữa OO'
với R và r.
Số
Ttc
Hai đờng tròn cắt nhau 2
R r < OO' < R + r
2
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau:
Tiếp xúc trong
Tiếp xúc ngoài
1
OO' = R r > 0
OO' = R + r
1
3
7
O
O'
A
B
I
O
O'
A
O
O'
A
O
O'
I
B
A
C
D
Hai đờng tròn không giao nhau:
(O) chứa (O')
(O) ngoài nhau (O')
Đặc biệt (O) và (O') đồng tâm
0
OO' < R r
OO' > R + r
OO' = 0
0
4
Thí dụ 6: (Bài 40/tr 123 sgk): Đố: Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe
tròn có răng ca đợc khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh
răng chuyển động đợc ? Trên hình nào hệ thống bánh răng không
chuyển động đợc ?
Hớng dẫn:
Giải
Sử dụng hình vẽ 99a, 99b, 99c/tr 123
Sgk
Ta thấy ngay:
Hệ thống bánh răng trong hình 99a chuyển động đợc.
Hệ thống bánh răng trong hình 99b không chuyển động đợc.
Hệ thống bánh răng trong hình 99c không chuyển động đợc.
bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho đờng (O) đờng kính AB. Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn
(O) ở C, D.
a. Xác định dạng tứ giác OCDB.
b. Xác định dạng tam giác ACD.
Bài tập 2: Cho hai đờng tròn (O; 20cm) và (O; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính
đoạn nối tâm OO, biết rằng AB = 24cm.
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu một đờng tròn đi qua một điểm bên trong và
một điểm bên ngoài một đờng tròn khác thì hai đờng tròn cắt nhau
tại hai điểm.
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD. Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng
kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB
tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của AD.
Bài tập 5: Cho đờng tròn tâm O bán kính OA và đờng tròn đờng kính OA.
a. Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn.
b. Dây AD của đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ở C. Chứng minh
rằng AC = CD.
Bài tập 6: Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA sao cho
1
AI OA
3
=
. Vẽ đờng tròn (I; IA).
a. Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I).
b. Kẻ một đờng thẳng qua A, cắt các đờng tròn (I) và (O) theo thứ
tự ở B và C. Tính tỉ số
AB
AC
.
8
Bài tập 7: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) tiếp xúc với nhau tại A. Vẽ một
cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn tại B và C. Chứng minh rằng các
tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.
Bài tập 8: Cho ba đờng tròn tâm O
1
, O
2
, O
3
cùng có bán kính R và tiếp xúc
ngoài với nhau đôi một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba
tiếp điểm.
Bài tập 9: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không giao nhau. Gọi H là hình
chiếu của O trên a. Tia đối của tia OH cắt đờng tròn tại A. Vẽ đờng
thẳng b a tại điểm B trên đờng thẳng a. Đoạn thẳng AB cắt đờng
tròn tại C. Tia OC cắt b tại I. Chứng minh rằng đờng tròn (I; IB)
tiếp xúc với đờng thẳng a và đờng tròn (O).
Bài tập 10: Cho hai đờng tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B (O) , C (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A
cắt BC ở I.
a. Chứng minh rằng
ã
0
BAC 90 .=
b. Tính số đo góc OIO'.
c. Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.
Bài tập 11: Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở trên đờng tròn đó. Vẽ đờng tròn
(I) đi qua O và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) tại A. Qua A vẽ tiếp
tuyến chung xy với hai đờng tròn. Dây AC của đờng tròn (O) cắt đờng
tròn (I) tại M. Tia CO cắt đờng tròn tâm I tại N. Đờng thẳng OM cắt
xy và tia AN lần lợt tại B và D. Chứng minh rằng:
a. MA = MC. b. Tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài tập 12: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A.
Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng
tròn (O).
a. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b. Tính số đo góc
'OMO
.
c. Tính diện tích tứ giác BCOO theo R và r.
d. Gọi I là trung điểm của OO. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến
của đờng (I, IM).
Bài tập 13: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trùng với A, B. Vẽ các đ-
ờng tròn (A, AM) và (B, BM). Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đ-
ờng tròn này, từ đó suy ra số tiếp tuyến chung của chúng.
Bài tập 14: Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại
A, vẽ đờng tròn O tiếp xúc với AB tại B, hai đờng tròn này luôn
luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài
với nhau. Tìm quỹ tích tiếp điểm M của hai đờng tròn.
Bài tập 15: Cho hai đờng tròn đồng tâm O. Dây AB của đờng tròn lớn cắt đờng
tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC = BD.
9
bài giảng nâng cao
B. phơng pháp giải toán
Ví dụ 1: Cho đờng (O) đờng kính AB. Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn
(O) ở C, D.
a. Xác định dạng tứ giác OCDB.
b. Xác định dạng tam giác ACD.
Hớng dẫn: Với giả thiết, ta khẳng định đợc hai đờng
tròn là bằng nhau, từ đó:
Với câu a), ta nhận đợc một tứ giác với bốn cạnh bằng nhau nên
nó là hình thoi.
Với câu b), cần đi chứng minh ABC vuông bằng việc sử dụng
tính chất đờng trung tuyến, tiếp đó tính đợc số đo góc BAC và
DAC để dẫn tới khẳng định ACD đều.
Giải
a. Ta có ngay:
OC = OD = OB và BC = BD = BO OC = CB = BD = DO
OCDB là hình thoi.
b. Trong ABC, ta có:
Trung tuyến CO và
1
CO AB
2
=
ABC vuông tại C.
BC =
2
1
AB BÂC = 30
0
CÂD = 60
0
ACD đều.
Ví dụ 2: (Bài 34/tr 119 sgk): Cho hai đờng tròn (O; 20cm) và (O; 15cm) cắt
nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO, biết rằng AB = 24cm.
Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm
cùng phía đối với AB. Và sử dụng định lí Pytago cho các tam giác
vuông tơng ứng, bởi:
OO = OI + IO, với I là trung điểm của AB.
Giải
Gọi I là giao điểm của AB và OO' thì IA = IB = 12cm, xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Khi O và O' nằm khác phía đối với AB, ta lần lợt:
Trong OAI, ta có:
IO
2
= OA
2
IA
2
= 20
2
12
2
= 256
IO = 16cm.
Trong O'AI, ta có:
O'I
2
= O'A
2
IA
2
= 15
2
12
2
= 81 IO = 9cm.
10
O
O'
I
B
A
D
B
A
C
H
O
Khi đó:
OO' = IO + IO' = 16 + 9 = 25cm.
Trờng hợp 2: Khi O và O' nằm cùng phía đối với AB.
Độ dài IO và IO' đợc tính đúng nh trong trờng hợp 1.
Khi đó:
OO' = IO IO' = 16 9 = 7cm.
Chú ý: Bài toán ngợc là cho biết độ dài của OO và yêu cầu tính AB:
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O. 17cm) và (O; 10cm) cắt nhau tại A
và B. Biết OO = 21cm. Tính AB.
Giải
Gọi I là giao điểm của AB và OO', suy ra:
AB = 2AI và AI OO'.
Trong OAO', ta có:
S
OAO'
=
p(p a)(p b)(p c)
=
1
2
AI.OO'
AI =
2 p(p a)(p b)(p c)
OO'
=
2 24.3.14.7
21
= 8cm.
Vậy, ta đợc AB = 16cm.
Bài 2: Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tai A và B, trong đó OA là
tiếp tuyến của đờng tròn (O). Tính dây cung AB biết OA = 20cm,
OA = 15cm.
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, suy ra:
AB = 2AI và AI OO'.
Trong OAO' vuông tại A, ta có:
S
OAO'
=
1
2
OA.O'A =
1
2
AI.OO' =
1
2
AI.
2 2
OA O'A+
AI =
2 2
OA.O'A
OA O'A+
=
2 2
20.15
20 15+
= 12cm.
Vậy, ta đợc AB = 24cm.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu một đờng tròn đi qua một điểm bên trong và
một điểm bên ngoài một đờng tròn khác thì hai đờng tròn cắt nhau
tại hai điểm.
Hớng dẫn: Sử dụng các kiến thức:
Vị trí tơng đối của một điểm với đờng tròn.
Hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tam giác.
Để từ đó nhận đợc bất đẳng thức |R r| < OO' < R + r.
11
O
O'
I
B
A
O
O'
I
B
A
O
O'
I
B
A
Giải
Giả sử đờng (O) đi qua A và B, trong đó A ở bên ngoài (O), B ở bên trong (O).
Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của các đờng tròn (O), (O).
Ta có:
OA = OB = R, OA > r và OB < r.
Xét OOB ta có:
OO OB + OB < R + r . (1)
Nếu R r thì trong OOB, ta có:
OO OB OB > R r. (2)
Nếu r R thì trong OOA, ta có:
OO OA OA > r R (3).
Từ đó ta đợc:
R r < OO' < R + r Hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau.
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng
kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB
tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của AD.
Hớng dẫn: Trớc tiên, các em cần đọc kĩ đầu bài để thực hiện đúng việc vẽ hình.
Tiếp theo, ta sử dụng suy luận ngợc:
M là trung điểm AB
1
BM AB
2
=
1
BC
2
=
= CI, I là trung điểm BC
CDI = BCM, điều này đúng theo g.c.g.
Nh vậy, chỉ cần trình bày theo chiều ngợc lại ta có đợc lời giải trong
việc chứng minh M là trung điểm của AB. Tơng tự ta có cách chứng
minh N là trung điểm của AD.
Giải
Gọi I là trung điểm của BC.
Xét hai tam giác vuông CDI và BCM, ta có:
CD = BC, vì hai cạnh hình vuông
ã
CDI
=
ã
BCM
, góc có cạnh tơng ứng vuông góc
do đó:
CDI = BCM (cạnh góc vuông và góc nhọn)
BM = CI =
1
2
BC =
1
2
AB M là trung điểm AB.
Chứng minh tơng tự, ta cũng có:
ABN = BCM (cạnh góc vuông và góc nhọn)
12
O
O'
d
R
B
A
D
M
B
A
C
N
E
I
AN = BM =
1
2
AD N là trung điểm AD.
Chú ý: Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng tính chất của hai đờng
tròn tiếp xúc với nhau.
Ví dụ 5: (Bài 36/tr 123 sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính OA và đờng
tròn đờng kính OA.
a. Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn.
b. Dây AD của đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ở C. Chứng minh
rằng AC = CD.
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của hai đờng tròn tiếp xúc
với nhau.
Giải
a. Gọi O' là trung điểm của OA, nhận xét rằng:
OO' = OA O'A = R r
Hai đờng tròn tiếp xúc trong với nhau.
b. Trong OAD, ta có:
O'C
OD
=
r
R
=
O'A
OA
O'C // OD O'C là đờng trung bình
C là trung điểm AD AC = CD.
Ví dụ 6: Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA sao cho
1
AI OA
3
=
. Vẽ đờng tròn (I; IA).
a. Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I).
b. Kẻ một đờng thẳng qua A, cắt các đờng tròn (I) và (O) theo thứ tự ở B
và C. Tính tỉ số
AB
AC
.
Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 6.
Giải
a. Ta có:
OI = OA IA (O) và (I, IA) tiếp xúc trong với nhau.
b. Kẻ OH vuông góc với CD, ta đợc CH = AH
Mặt khác, ta có:
ABD
= 90
0
BD AB BD // OH
AB AD 2
AH AO 3
= =
AB 2
2AH 2.3
=
AB 1
AC 3
=
.
13
O
O'
A
D
C
O
A
I
B
C
H
D
Ví dụ 7: (Mở rộng bài 33/tr 119 Sgk): Cho hai đờng tròn (O; R) và (O, r)
tiếp xúc với nhau tại A. Vẽ một cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn tại B
và C. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.
Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 6. Tuy nhiên, trong bài toán này chúng ta cần xét hai
trờng hợp tiếp xúc của (O) và (O').
Giải
Xét hai khả năng tiếp xúc của (O; R) và (O', r).
Trờng hợp 1: Nếu (O; R) và (O', r) tiếp xúc trong với nhau
Trong OAC, ta có:
O'B
OC
=
r
R
=
O'A
OA
O'B // OC.
Nên các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau vì chúng vuông góc với O'B và
vuông góc với OC.
Trờng hợp 2: Nếu (O; R) và (O', r) tiếp xúc ngoài với nhau
Ta có:
O'B
OC
=
r
R
=
O'A
OA
O'B // OC.
Nên các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau vì chúng vuông góc với O'B và
vuông góc với OC.
Ví dụ 8: Cho ba đờng tròn tâm O
1
, O
2
, O
3
cùng có bán kính R và tiếp xúc
ngoài với nhau đôi một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba
tiếp điểm.
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất tiếp xúc ngoài của hai đờng tròn để khẳng định đợc
rằng O
1
O
2
O
3
đều với cạnh 2R, từ đó suy ra diện tích của nó.
Giải
Xét O
1
O
2
O
3
, ta có:
O
1
O
2
= O
2
O
3
= O
3
O
1
= 2R
O
1
O
2
O
3
đều và có cạnh bằng 2R
do đó:
1 2 3
O O O
S
=
2
(2R) 3
4
= R
2
3
.
Ví dụ 9: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không giao nhau. Gọi H là hình
chiếu của O trên a. Tia đối của tia OH cắt đờng tròn tại A. Vẽ đờng
thẳng b a tại điểm B trên đờng thẳng a. Đoạn thẳng AB cắt đờng
tròn tại C. Tia OC cắt b tại I. Chứng minh rằng đờng tròn (I; IB)
tiếp xúc với đờng thẳng a và đờng tròn (O).
14
O
O'
A
B
O
O'
A
C
B
O
1
O
2
O
3
R
R R
R
R
R
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét