Một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức.

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức.": http://123doc.vn/document/563463-mot-so-phuong-phap-thuong-gap-de-tim-gia-tri-nho-nhat-gia-tri-lon-nhat-cua-mot-bieu-thuc.htm

G i ả i :
2
Ta có A
=

1

1


x

1
1

2

Suy ra maxA =1 khi x =
1
2
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
=
4

x

4
4

x

2
(
x
1)
(
x
1)

2
9
Ta có B
=
G i ả i :
(2

x

2
x
1)

2
9 9
3
Suy ra minB = 3 khi 2x
2
- x – 1 =0 (2x + 1)(x – 1) =
0
Vậy minB =3 khi x =1 hoặc x
=
x =1 hoặc x =
1
2
1
2
B/ Ph ư ơng p há p 2 :
Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | .
Đ
ể
tìm GTNN của
biểu
thức Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥
0
T h í d ụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
sau:
a) A = | 2x – 5 | + | 2x + 1
|
b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3
|
c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4
|
d) D
=
25x

2
20
x
4
25x

2
e) E
=
x

2
2
x
1 x

2
4x
4 x

2
6x
9
Gi ải :
a) Ta có A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | = | 2x – 5 | + | 1- 2x | ≥ | 2x – 5 + 1- 2x
|
= | -4 | =
4
Suy ra minA = 4 khi (2x – 5)(1 – 2x) ≥
0
b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3
|
1
x
5
2
2
Ta có | x – 1| + | x – 3 | = | x – 1| + | 3 – x | ≥ | x – 1 + 3 – x | =
2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 1 x
3
| x – 2| nhỏ nhất khi x
=2
Vậy min B = 2 khi x
=2
c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3
|
Ta có: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥
3
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 1 x
4
Ta có: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥
1
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 2
x
3
Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2
x
3
d)Ta có D
=
(5x
2)

2
25x

2
= | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | =
2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥
0 0
x
2
5
Vậy minD = 2 khi 0 x
2
5
e) Ta có E
=
(
x
1)

2
(
x
2)

2
(
x
3)

2
= | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3
|
Vậy minE = 2 khi x =2 ( làm như câu b
)
B à i
t

ậ



p:

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu
thức
a) A = | x – 1 | + | x – 2 | + … + | x – 2006
|
b) B
=
1
6

x
9

x

2
9

x

2
12
x
4
G i ả i :
Chú ý 1: y = | x – a | + | x – b | ( a < b
)
Min y = b – a khi
a x
b
a) Ta có A = ( | x – 1 | + | x – 2006 | ) + ( | x – 2 | + |x – 2005 | ) +
…
+ ( | x – 1002| + | x -1003 |
)
Suy ra minA = 2005 + 2003 + … + 1 khi
1002
x
1003
Vậy minA = 1003
2
khi
1002
x
1003
b) Ta có B
=
(3x
1)

2
(3x
2)

2
= | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | =
1
Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥
0
1
x
2
3
3
Chú ý 2 : y = | ax – b | + | ax – c | ( b < c
)
Min y = c – b khi
b
x
c
a
a
T h í d ụ : Tìm GTNN của biểu
thức
C = | 2x -5 | + | 2x – 7
|
Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi
5
x
7
2
2
Chú ý 3 : y = | ax + b | + | ax + c | ( b < c
)
Min y = c – b khi
c
x
b
a
a
T h í dụ : Tìm GTNN của biểu
thức
D = | 3x + 5 | + | 3x + 7
|
Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi
7
x
5
3
3
B à i
t

ậ



p:

1) Tìm GTNN của các biểu thức
sau:
a) A
=
b) B
=
(
x
1)

2
(
x
1)

2
(
x
2)

2
(
x
2)

2


(
x
2006)

2
(
x
2007)

2
2) Tìm GTNN của các biểu thức
sau:
a) C
=
b) D
=
c) E
=
4

x

2
4

x

2
4

x

2
4
x
1
4
x
1
4x
1
4

x

2
4

x

2
4

x

2
12
x
9
8x
4
8x
4
4

x

2
4

x

2
12
x
9
12
x
9
4

x

2
16
x
16
3) Tìm GTNN của các biểu thức
sau:
a) F = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + … + | 2x – 2006
| b)
G = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + … + | 2x – 2007
|
c) H
= | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + … + | 2x + 2006
|
d) I
= | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + … + | 2x + 2007
|
e) K
=
f) L
=
g) M
=
h) N
=
(2

x
(2

x
(2

x
(2
x
1)

2
1)

2
1)

2
1)

2
(2

x
(2

x
(2

x
(2
x
2)

2
2)

2
2)

2
2)

2




(2

x
(2

x
(2

x
(2
x
2006)

2
2007)

2
2006)

2
2007)

2
i) O
=
k) P
=
l)
Q
=
(4

x
(4

x
(4

x
5)

2
5)

2
1945
)

2
(4
x
(4

x
6)

2
6)

2
(4

x
(4

x
(4
x
1946)

2
7)

2
7)

2

(4

x
(4

x
8
)

2
2
0
06)

2
m) X
=
(4

x
1975)

2
(4

x
1976)

2
(4

x
2007)

2
C/ Phư ơn g phá p3 :
Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm
GTLN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤
0
T hí d ụ : Tìm GTLN của các biểu thức
sau:
a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2
|
c) C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025
|
G i ả i :
a) Ta có A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | | (3x + 5) - (3x + 7) | =
2
Dấu ‘ = ‘ xảy
ra
3x
5
3x 7 0 x
7
3
Vậy maxA = 2 x
7
3
b) Ta có B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | | (5x + 7) - (5x – 2) | =
9
Dấu ‘ = ‘ xảy
ra
5x
7
5x 2 0 x
2
5
Vậy maxB = 9 x
2
5
c) Ta có C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025 | = | 4x
2
- 1975 | - | 4x
2
-
2025|
|
(4

x

2
1975)


x
(4

x

2
45
2025) |
50
Dấu ‘ = ‘ xảy
ra
Vậy maxC =
50
4

x

2


x


x


1975
45
2
45
2
4

x

2
2025
0

2


x
45


2
Bài tậ p: Tìm GTLN của các biểu thức
sau:
a) D
=
(19

x
5)

2
(19

x
8)

2
b) E =
|

19

x

5
1890
|
|

19

x

5
2007
|
D/ Phư ơn g phá p4 :
Áp dụng bất đẳng thức:
a
b
a b
(a ≥ b ≥0 ) để tìm
GTLN.
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b(a-b) = 0 b = 0 hoặc a =
b
Thí dụ: Tìm GTLN của biểu
thức
Gi ải :
A = x 1 x
8
Ta có A =
x 1 x
8
(
x
1) (
x 8) 9
3
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x - 8 = 0 x =
8
Suy ra maxA = 3 khi x =
8
B ài t
ậ



p:

Tìm GTLN của các biểu thức
sau:
a) B
=
b) C
=
12
x
30

x

4
2006
1975
12

x
30

x

4
2007
2007
E/ Ph ư ơn g p háp 5 :
Áp dụng bất đẳng thức:
a
b
a b
(a , b ≥0 ) để tìm
GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0 a = 0 hoặc b =
0
T hí d ụ : Tìm GTNN của biểu thức A = x 3 5
x
Gi
ả
i :
ĐKXĐ:
3 x
5
Ta có A =
x 3 5
x
(
x 3) (5 x)
2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x =3 hoặc x
=5
Suy ra minA = 2 khi x =3 hoặc x
=5
B ài t
ậ



p:

1)Tìm GTNN của các biểu thức
sau:
a) B
=
b) C
=
20

x
19x

5
11
1890
1982 20

x
19x

5
2010
2) Cho x + y = 15 . Tìm GTNN của biểu thức D
=
x 4 y
3
Ng
ö
ô
ø
i

v
i
e
á
t
:

T
r
a
à
n

N
g
o
ï
c
D
u
y
GV tröôøng THCS – DTNT Ba
Tô
Trang
10
F/ Phư ơn g phá p6 :
Áp dụng bất đẳng thức CôSi:
Đ
ể
tìm GTLN,
GTNN
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab
(1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a =
b
+ Với a
1
, a
2
, a
3
, …., a
n
≥ 0 thì a
1
+ a
2
+ a
3
+ ….+ a
n
≥
n

n
a
1

.a
2
.a
3
a
n
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= … =
a
n
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
- Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 k a =
b
k
2
(
2)
- Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b)
=
4
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
a =
b
- Nếu a
1
.a
2
.a
3
…. a
n
= k (không đổi ) thì min(a
1
+ a
2
+ a
3
+ ….+ a
n
) =
n

n
k
a
1
= a
2
= a
3
= … =
a
n
n
- Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ ….+ a
n
= k (không đổi ) thì max(a
1
.a
2
.a
3
…. a
n
) =


k

 
a
1
= a
2
= a
3
= … =
a
n

n

D ạ n g 1 : Tìm GTLN của biểu thức có dạng A
=
bằng bậc
g(x)
f
(

x) g

(
x)
bậc
f(x)
Phư ơn g pháp giải : Ta tìm GTLN bình phương biêu thức đó. Sau đó
áp
dụng
B
Đ
T
Côsi
2 ab a
b
T hí d ụ : Tìm GTLN của biểu thức A
=
G i ả i :
3x
5
7
3
x
ĐKXĐ:
5
x
7
3
3
Ta có A
2
=
(3x
A
2
5)
(7
2
(3x
3x)
5)
2
(3x
(7
3x)
5)(7
4
3x)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
3x
5
7 3x x
2
Vậy maxA
2
= 4 khi x =
2
Do đó maxA = 2 khi x =
2
B ài t
ậ



p:

1)Tìm GTLN của các biểu thức
sau:
a) B =
x
5
23
x
b) C
=
7

x

5
1954
7

x

5
2007
2) Cho x + y = 15 . Tìm GTLN của biểu thức D
=
x 4 y
3
C hú ý : Tìm GTLN của biểu thức M
=
Max A
2
= 2(c ± b) khi x
n
=
ax

n
b
c
∓
b
2a
c
ax

n
(b < c
)
Suy ra maxA
=
2(c
b) khi x
n
=
c
∓
b
2a
g(x).
D ạ ng 2: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A
=
f
(

x)
g

(

x)
bậc f(x) bằng
b
ậ
c
Phươ ng pháp giải : Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau đó
áp
dụng
B
Đ
T
Côsi
ab
1
(a
b)
2
Thí dụ : Tìm GTLN của biểu thức A =
x
9
5x
Gi ải :
ĐKXĐ:
x
9
x 9
.3
1
(
x 9
3)
x 9
9
Ta có A =
x
9
5x


3


5x
2

3


5x

3
1
10
x
30
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
x 9
3
3
x
18
Vậy maxA
=
1
khi x =
18
30
Bài t
ậ
p:
Tìm GTLN của các biểu thức
sau:
a) B
=
x 16
b) C
=
3x
25
e) F
=
2x
5
c) D
=
7

x
10
x
49
d) E
=
7
x
3x
2x

2
25
2006

x
2006x

2
H ư ớ n g d ẫ n : a) Nhân và chia biểu thức x – 16 cho cùng một số 4 ( 16
4

)
b) Nhân và chia biểu thức 3x – 25 cho cùng một số 5 (
25 5
)
c) Nhân và chia biểu thức 10x – 49 cho cùng một số 7 ( 49 7
)
2
2 2
d) Nhân và chia biểu thức2x
2
– 25 cho cùng một số 5
(
e) Nhân và chia biểu thức 2x – 5 cho cùng một số
5
25 5
)
Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức N
=
ax

n
b
Suy ra MaxN
=
a
2c
b
khi x
n
=
2b
a
cx

n
D ạ n g 3 : Tìm GTNN của biểu thức có dạng A
=
hơn bậc của
g(x).
f
(

x)
g

(
x)
bậc của f(x)
l
ớ
n
P h ư ơ n g p h á p g i ả i : Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các
biểu
thức sao cho tích của chúng là một hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của
nhiều
hạng tử bằng nhau) , rồi áp dụng
B
Đ
T

Côsi
T hí d ụ : Cho x > 0 , tìm GTNN của biểu thức M =
(

x
Gi ải :
1994)

2
x
Ta có M =
x 2.1994
x
1994

2
x
1994
x
2.1994
2
x.
1994
x
2.1994 2.1994 2.1994
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
x
1994

2
x
x
1994
=
4.1994
Vậy minM = 4.1994 khi x =
1994
Bài t
ậ
p:
1) Cho x > 0 , tìm GTNN của các biểu
thức
a) A
=
3x

4
16
x

3
Gi ải :
b) B
=
7

x

8
256
x

7
c) C
=
2

x

2
6
x
5
2x
a) Ta có A =
3x
16
x

3
x x x
16
x

3
4
4
x.x.x.

16
8
x

3
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x
16
x
2
x

3
Vậy minA = 8 khi x =
2
b)Ta có B =
7

x
256
x

7
x x x
x
x x
x
256
x

7
8
8
x.x.x.x.x.x.x.
256
x

7
8.2
16