NHữNG TRọNG ĐIểM TOáN 9
ÔN THI VàO PTTH
Phần I:
Đại số
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A
có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B=
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= >
d.
2
( 0)A B A B B=
e.
2
( 0; 0)A B A B A B=
2
( 0; 0)A B A B A B= <
f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
=
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
=
m
m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
=
m
3. Hàm số y = ax + b (a 0)
- Tính chất:
+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hàm số y = ax
2
(a 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành.
5. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau a a'
(d) // (d') a = a' và b b'
(d) (d') a = a' và b = b'
6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong.
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax
2
(P)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung
7. Phơng trình bậc hai.
Xét phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn
= b
2
- 4ac
Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2
2
=
Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm
kép :
a
b
xx
2
21
==
Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
' = b'
2
- ac với b = 2b'
- Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
a
b
x
''
1
+
=
;
a
b
x
''
2
=
- Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm
kép:
a
b
xx
'
21
==
- Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
8. Hệ thức Viet và ứng dụng.
- Hệ thức Viet:
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0) thì:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
= + =
= =
- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x
2
- Sx + P = 0
(Điều kiện S
2
- 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:
x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:
x
1
= -1 ; x
2
=
c
a
2
9. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm
nào thích hợp với bài toán và kết luận
B. các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rút gọn biểu thức A
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
Dạng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.
Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút
gọn biểu thức A
Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a
Cách giải:
- Rút gọn biểu thức A(x).
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
A = B A - B = 0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp.
A = A
1
= A
2
= = B
- Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh.
A = A
1
= A
2
= = C
B = B
1
= B
2
= = C
- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng.
A = B A' = B' A" = B" (*)
(*) đúng do đó A = B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết.
- Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.
3
A = B
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B
Một số bất đẳng thức quan trọng:
- Bất đẳng thức Cosi:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
321
321
++++
(với
0
321
n
aaaa
)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:
n
aaaa
====
321
- Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Với mọi số a
1
; a
2
; a
3
; ; a
n
; b
1
; b
2
; b
3
; b
n
( )
) )( (
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211 nnnn
bbbbaaaababababa ++++++++++++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
====
3
3
2
2
1
1
Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A > B A - B > 0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp
A = A
1
= A
2
= = B + M
2
> B nếu M 0
- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng
A > B A' > B' A" > B" (*)
(*) đúng do đó A > B
- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu
A > C và C > B A > B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng
Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng đơng
để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.
- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp.
- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai
Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
Các phơng pháp giải:
- Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích.
- Phơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai
x
2
= a x =
a
- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm
Ta có = b
2
- 4ac
+ Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2
2
=
+ Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
a
b
xx
2
21
==
+ Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn
4
Ta có ' = b'
2
- ac với b = 2b'
+ Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
+
=
;
a
b
x
''
2
=
+ Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
a
b
xx
'
21
==
+ Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0) thì:
=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.
Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình bậc
hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).
Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng
a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.
Giả sử a = 0 m = m
0
ta có:
(*) trở thành phơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**)
+ Nếu b 0 với m = m
0
: (**) có một nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m
0
: (**) vô định (*) vô định
+ Nếu b = 0 và c 0 với m = m
0
: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm
b. Trờng hợp a 0: Tính hoặc '
+ Tính = b
2
- 4ac
Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2
2
=
Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép :
a
b
xx
2
21
==
Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
+ Tính ' = b'
2
- ac với b = 2b'
Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
+
=
;
a
b
x
''
2
=
Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép:
a
b
xx
'
21
==
Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Ghi tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
5
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b 0
2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc
điều kiện 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt
>
0
0a
hoặc
>
0
0
'
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
=
0
0
b
a
hoặc
=
0
0a
hoặc
=
0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:
=
0
0a
hoặc
=
0
0
'
a
Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
<
0
0a
hoặc
<
0
0
'
a
Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
=
0
0
b
a
hoặc
=
0
0a
hoặc
=
0
0
'
a
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:
>=
0
0
a
c
P
hoặc
>=
0
0
'
a
c
P
6
Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:
>=
>=
0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc
>=
>=
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:
<=
>=
0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc
<=
>=
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a và c trái dấu.
Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x
1
.
Cách giải:
- Thay x = x
1
vào phơng trình (*) ta có: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x
1
, x
2
- Hoặc tính x
2
= S - x
1
hoặc x
2
=
1
x
P
Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn các
điều kiện:
a.
=+
21
xx
b.
kxx
=+
2
2
2
1
c.
n
xx
=+
21
11
d.
hxx
+
2
2
2
1
e.
txx
=+
3
2
3
1
Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:
==
=
=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
7
a. Trờng hợp:
=+
21
xx
Giải hệ
=+
=+
21
21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Trờng hợp:
kxxxxkxx
=+=+
21
2
21
2
2
2
1
2)(
Thay x
1
+ x
2
= S =
a
b
và x
1
.x
2
= P =
a
c
vào ta có:
S
2
- 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
c. Trờng hợp:
ncbxnxxxn
xx
==+=+
2121
21
.
11
Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*)
d. Trờng hợp:
02
22
2
2
1
+
hPShxx
Giải bất phơng trình S
2
- 2P - h 0 chọn m thoả mãn (*)
e. Trờng hợp:
tPSStxx ==+ 3
33
2
3
1
Giải phơng trình
tPSS
=
3
3
chọn m thoả mãn (*)
Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của
chúng.
Ta có u và v là nghiệm của phơng trình:
x
2
- Sx + P = 0 (*)
(Điều kiện S
2
- 4P 0)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm.
Nội dung 6:
giải phơng trình
bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ
Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax
4
+ bx
2
+ c = 0
Đặt t = x
2
(t0) ta có phơng trình at
2
+ bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
at
2
+ bt + c = 0 ax
4
+ bx
2
+ c = 0
vô nghiệm vô nghiệm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm vô nghiệm
1 nghiệm dơng 2 nghiệm đối nhau
2 nghiệm dơng
4 nghiệm
2 cặp nghiệm đối nhau
8
x
1
, x
2
Bài toán 2: Giải phơng trình
0)
1
()
1
(
2
2
=++++
C
x
xB
x
xA
Đặt
x
x
1
+
= t x
2
- tx + 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
+
)
2
=
2
1
2
2
++
x
x
2
1
2
2
2
=+
t
x
x
Thay vào phơng trình ta có:
A(t
2
- 2) + Bt + C = 0
At
2
+ Bt + C - 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào
x
x
1
+
= t giải tìm x.
Bài toán 3: Giải phơng trình
0)
1
()
1
(
2
2
=+++
C
x
xB
x
xA
Đặt
x
x
1
= t x
2
- tx - 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
)
2
=
2
1
2
2
+
x
x
2
1
2
2
2
+=+
t
x
x
Thay vào phơng trình ta có:
A(t
2
+ 2) + Bt + C = 0
At
2
+ Bt + C + 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào
x
x
1
= t giải tìm x.
Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao
Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng:
+ Phơng trình tích
+ Phơng trình bậc hai.
Nội dung 7:
giải hệ phơng trình
Bài toán: Giải hệ phơng trình
=+
=+
''' cybxa
cbyax
Các phơng pháp giải:
+ Phơng pháp đồ thị
+ Phơng pháp cộng
+ Phơng pháp thế
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
Nội dung 7:
giải phơng trình vô tỉ
Bài toán 1: Giải phơng trình dạng
)()( xgxf
=
(1)
9
Ta có
[ ]
=
=
)3()()(
)2(0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
Bài toán 2: Giải phơng trình dạng
)()()( xgxhxf
=+
Điều kiện có nghĩa của phơng trình
0)(
0)(
0)(
xg
xh
xf
Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x.
Nội dung 8:
giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán: Giải phơng trình dạng
)()( xgxf
=
Phơng pháp 1:
)()( xgxf
=
[ ] [ ]
=
22
)()(
0)(
xgxf
xg
Phơng pháp 2: Xét f(x) 0 f(x) = g(x)
Xét f(x) < 0 - f(x) = g(x)
Phơng pháp 3: Với g(x) 0 ta có f(x) = g(x)
Nội dung 9:
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]
2n
,
n Z y M
Do đó y
max
= M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]
2k
kZ y m
Do đó y
min
= m khi h(x) = 0
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức.
Nội dung 10:
các bài toán liên quan đến hàm số
* Điểm thuộc đờng - đờng đi qua một điểm
Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm
A(x
A
;y
A
). Hỏi (C) có đi qua A không?
10
Đồ thị (C) đi qua A(x
A
;y
A
) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng ph-
ơng trình của (C)
A(C) y
A
= f(x
A
)
Dó đó tính f(x
A
)
Nếu f(x
A
) = y
A
thì (C) đi qua A.
Nếu f(x
A
) y
A
thì (C) không đi qua A.
* sự tơng giao của hai đồ thị
Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số
y = f(x) và y = g(x)
Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị
Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hoành độ
điểm chung:
f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung.
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
* lập phơng trình đờng thẳng
Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
)
và có hệ số góc bằng k.
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) đi qua A(x
A
;y
A
) nên ta có y
A
= kx
A
+ b b = y
A
- kx
A
- Thay a = k; b = y
A
- kx
A
vào (*) ta có phơng trình của (D)
Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
);
B(x
B
;y
B
)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b
(D) đi qua A và B nên ta có:
+=
+=
b ax y
b ax y
BB
AA
Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp
xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc
b và suy ra phơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
)
k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép.
11
Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(x
A
;y
A
) do đó ta có y
A
= ax
A
+ b (***)
Từ (**) và (***) a và b Phơng trình đờng thẳng (D).
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b
2
= ab' c
2
= ac'
h
2
= b'c'
ah = bc
a
2
= b
2
+ c
2
222
111
cbh
+=
2. Tỉ số lợng giác của góc nhọn.
0 < sin < 1 0 < coss < 1
cos
sin
=
tg
sin
cos
cot
=
g
sin
2
+ cos
2
= 1
12
Phần II:
hình học
a
b'
c'
b
c
h
H
B
C
A
tg.cotg = 1
2
2
cos
1
1
=+
tg
2
2
sin
1
cot1
=+
g
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
4. Đờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ một
đờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vô số
trục đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
Trong một đờng tròn
+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
13
b
a
c
C
B
A
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối Số điểm chung
Hệ thức liên hệ
giữa d và R
- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau
2 d < R
- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau
1 d = R
- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau
0 d > R
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối
Số điểm
chung
Hệ thức liên hệ giữa d
và R
- Hai đờng tròn cắt nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài
+ Tiếp xúc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau
+ (O) đựng (O')
+ (O) và (O') đồng tâm
0
OO' > R + r
OO' < R - r
OO' = 0
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét